聊一聊Puzzle：从幻方到数独

　　‘Puzzle’一词在词典中被定义为‘设计用于测验聪慧程度和知识水平的玩具、游戏或者谜题’，一般将其直接称为‘谜题’‘智力游戏’等。Puzzle的表现形式相当多，包含拼图、玩具、题目等等，可谓是无奇不有。同时，基于不同规则的puzzle分别有着不同的玩法和乐趣，并且puzzle的难易度灵活多变，当谜底被解开的时刻能够带给解答者独特的成就感，因此解答puzzle也算是一种相当有意思的娱乐活动，实打实的杀时间利器。

　　逻辑谜题（Logic Puzzle）是puzzle中的一个大类。这类puzzle要求解答者综合利用谜题中给出的条件进行分析、推理，进而得到谜题的答案。数独（Sudoku）可能是这类谜题当中最为知名并且影响力最广的了，今天的数独已经发展成了一项风靡世界的游戏，而这项游戏本身，从历史到内涵，仍然有非常多值得说的内容。

　　河图、洛书与幻方

　　古代有两种祥瑞之兆，分别被称为‘河图’、‘洛书’，二者综合即为典故‘河图洛书’。《周易》记载有‘河出图，洛出书，圣人则之。’河图洛书也被视作是上天降下的旨意，用以辅佐君主治国安邦。

　　在河图的传说当中，伏羲氏在孟津县境黄河与图河交汇处遇见了祥兽‘龙马’（……）。龙马这名字来得相当简单粗暴，其为龙与马交配而生，明清时期的书画家王铎在《龙马记》中记载：‘龙马者，天地之精，其为形也，马身而龙鳞，故谓之龙马。高八尺五寸，类骆有翼，蹈水不没，圣人在位，负图出于孟河之中焉。’其中提到龙马背上带了一张图，而伏羲氏便是看了这张图领悟出了八卦。《尚书》中也有‘伏羲王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图，及典谟皆历代传宝之。’的说法。

　　洛书的传说与河图很相似，相传在大禹治水时，在洛宁县洛河与其支流玄沪河交汇处出现了一只神龟，其背上（也有说法是在下腹壳上）刻有一副点图，谓之洛书。《尚书》记载‘天与禹洛出书，神龟负文而出，列于背，有数至于九。’《大戴礼记》卷八《明堂篇》有‘明堂者，古有之也。凡九室，……明堂月令，赤缀户也，白缀牖也。二九四，七五三，六一八。’

　　其中也提到了明堂这种建筑按照洛书的数字‘二九四，七五三，六一八’来排列，这也是比较早的关于洛书用在建筑风水上的记录。虽然在很长一段时间里洛书河图基本都是像这样被用作风水占卜或者描述周易哲学，但是洛书在数学上却有着更值得研究的内容。 

　　河图

　　洛书

　　大话西游2里的召唤兽，另一位大家都熟就不放图了（逃

　　首先，将洛书中的图形改写成3×3的九宫格，每格当中填入对应的数字，那么这个九宫格每行每列包括两条对角线的3个数字之和均等于15。现在人们将这种由不同数字（通常为1到阶数平方的连续整数）排列而成且满足行、列、对角线和相等的方阵称为‘幻方’（Magic square），而行列对角线的数字和也被称为‘幻方常数’。目前可以认为洛书是世界上最早被发现的最小幻方。顺便补充一句，由幻方的定义易知2阶幻方是不存在的，留给读者证明（（

　　除了前文提到的行列和相等之外，幻方当中还存在非常多其他的数学性质。在这里就仅举一个简单的例子：如果将洛书对应的3阶幻方每行视作一个3位数，那么这3个3位数的和与逆转后的3位数和相等，并且对于平方和也成立，即有 

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　　虽然幻方的发现和记载都发生在非常早的时候，但是对于幻方进一步的数学研究要等到南宋时期了，天知道中间过的这几千年都发生了什么。南宋数学家杨辉（就是搞出杨辉三角的那位）是最早对幻方进行数学研究的人，他把研究成果记录在了《续古摘奇算法》里。在书中，他将幻方称为‘纵横图’，并将3阶幻方的构造方法总结为‘九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。’，意思是说把1到9按照顺序斜着排成3×3的方阵，交换1和9、3和7的位置后整理便可得到3阶幻方。

　　同时，杨辉还给出了4阶到10阶的幻方，且4阶到8阶幻方都给出了两种排列方法，谓之曰‘阴阳图’。

　　遗憾的是，高于4阶的幻方构造方法杨辉并未给出说明，不过可以想象在当时的技术水平下这绝对是一件非常繁杂的工作。实际上，杨辉给出的10阶幻方‘百子图’便存在对角线之和不同的错误，而这一错误直到清初才被改正。张潮于《心斋杂俎》中提到了这一问题，对原10阶幻方作出了修改并命名为‘更定百子图’。

　　3阶幻方构造方法

　　杨辉4阶幻方

　　更定百子图

　　除了国内，印度和中东地区也被认为是较早开始对幻方进行研究的国家和地区。在1956年，宁夏元代安西王府旧址发掘出了一块幻方铁板，上面刻着用真·阿拉伯文数字制作的6阶阿拉伯幻方，这件文物也被认为是我国数学史上应用阿拉伯数字最早的实物资料。同时也有一种说法认为杨辉的研究是受到这个阿拉伯幻方的影响，不过该说法存在一定争议。目前，这件文物被收藏在陕西历史博物馆内。 

　　现在一般认为幻方约在14世纪左右，即文艺复兴时期传入欧洲。幻方在欧洲也很快与神秘学、宗教、星座这类学说联系了起来。一个名为海因里希·康奈利·阿格里帕·冯·内特斯海姆（Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim）的德国学者制作了3至9阶的幻方，并且用土星、木星等太阳系行星的名字来给幻方分别命名；卢卡·帕西奥利（Luca Pacioli）在其作品《数字的力量》（De Viribus Quantitatis）中提到了3阶和9阶的幻方；更有名的例子出自版画家丢勒在1514年的作品《忧郁 I》，在这副版画中有一个有趣的彩蛋：画中人物背后的强上有一个明显的4阶幻方，同时幻方最后一行中间的两个数字组成了作品的创作年份1514。这个作品的影响非常深远，直到今天仍然有各类文献对其进行解读。

　　还有一个值得一提的幻方研究者是印刷在100美元钞票上的那位本杰明·富兰克林，这位先生一生成就颇多，他最有名的幻方创作是一个8阶幻方，并且这个幻方也被称为‘富兰克林幻方’（Franklin Magic Square）。据说他本人曾经表示过当他觉得无聊的时候就会琢磨幻方来解闷。遗憾的是，这个幻方存在和百子图一样的错误：两条对角线的数字之和并不相等。有趣的是后来富兰克林在和别人比较过幻方之后觉得自己的幻方不够牛逼，结果楞是又搞出来一个16阶的特大幻方。当然这个幻方对角线还是存在和不相等的问题，传统艺能。

　　Melencolia I， Albrecht Dürer， 1514

　　幻方铁板

　　富兰克林幻方

（编辑：应用网_阳江站长网）

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